Касательство

[Barbedo]

Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

[Shuhrat Ismailov]

Центр искомой окружности равноудален от данных точек A и B, поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Для построения достаточно рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения данной прямой и прямой AB.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Сейчас думаю - удается ли это сделать гомотетией?

Оффтоп:

Пока нет листка бумаги для подсчетов...

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Для построения достаточно рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения данной прямой и прямой AB.

Если есть алгебраическое представление прямой и точек, то вообще можно выписать уравнение окружности ввиде системы и не париться. Идея ведь сделать это циркулем и линейкой, а в этом случае "рассмотреть все возможные случаи" не правильное действие.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

"рассмотреть все возможные случаи" не правильное действие.

Верно, случай, когда точки точки A и B лежат на данной прямой, не стоит рассматривать.

[Shuhrat Ismailov]

Без ограничения общности считаем, что A не лежит на M.
Известно, что образ прямой при инверсии есть окружность (или прямая). Причем в случае, когда M* - окружность, при инверсии с центром A искомая окружность перейдет в прямую, проходящую через B* и касающуюся M*. Применим инверсию относительно произвольной окружности с центром A так, чтобы образ M* была окружностью. Проведем через B* касательную l к M*. Еще раз сделаем инверсию. Тогда l перейдет в искомую окружность.

[b_a_lamut]

Оффтоп:

Эх, думаю, что если прямая лежит на точках, а растояние между точками настолько мало, что им можно пренебречь, а диаметр окружности настолько велик, что выпуклостью и впуклостью, тоже можно пренебречь, то можно построить сразу две окружности на этих точках Интересно, в математике такое решение допустимо?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

1. Строим серединный перпендикуляр, о котором писал Шухрат
2. Выбираем произвольный отрезок R - проводим радиусом R из любой точки, делаем засечку М на перпендикуляре. Исходную линию смещаем на R и находим пересечение Н с перпендикуляром.
3. Делим отрезок МН пополам. Это и будет центром окружности (хотя я в этом сомневаюсь :-0) )

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от b_a_lamut

Эх, думаю, что если прямая лежит на точках, а растояние между точками настолько мало, что им можно пренебречь, а диаметр окружности настолько велик, что выпуклостью и впуклостью, тоже можно пренебречь, то можно построить сразу две окружности на этих точках Интересно, в математике такое решение допустимо?

Окружность с бесконечным диаметром - прямая. Доказательство через инверсию позволяет и этот случай рассмотреть.

[Shuhrat Ismailov]

Если тoчки A и B распoлoжены пo oдну стoрoну oт даннoй прямoй и удалены oт неё на разные расстoяния, тo задача имеет два решения, если на равные — oднo решение. В oстальных случаях решений нет.
Построение. Стрoим oтрезoк, равный среднему геoметрическoму известных oтрезкoв MB и MA, и oткладываем егo пo разные стoрoны oт тoчки M на даннoй прямoй. Пусть MP — oдин из таких oтрезкoв. Oпишем oкружнoсть oкoлo треугoльника ABP. Эта oкружнoсть — искoмая.
Аналoгичнo для втoрoгo oтрезка.
Могу дать обоснование, основанное на теореме о секущей и касательной.