Новости про число Пи

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Евгений Семенович, Вы еще тут?

Разобрался и с доказательством и с дальнейшим уточнением формулы. Замучался. Доказательство получилось такое:

Пусть мы имеем число П близкое к Пи. При этом П-Пи=d. Заметим, что sin(d)=sin(П-Пи)=-sin(П).
Далее для "маленьких" d (это и было существенно) d=arcsin(sin(d))=-arcsin(sin(П)).

Далее просто sin(П) можно вычислить, а arcsin заменить урезанным рядом Тейлора для арксинуса (так как d -число "маленькое", то это возможно). Например:

с одним членом ряда Тейлора - arcsin(x)~x - и мы сразу получаем вашу формулу: Пи=П+sin(П); - точность порядка O(d^3);

с двумя членами - arcsin(x)~x+x^3/6 - и мы сразу получаем мою формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6; - точность порядка O(d^5);

с третим членом - arcsin(x)~x+x^3/6+x^5*3/40 - и мы получаем более продвинутую формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6+sin(П)*x^5*3/40; - точность порядка O(d^7);

То есть если Вам известны точно 50 первых чисел числа Пи, то в результате 1-й итерации с тремя членами Вы получите точность в 600 знаков после запятой точно... а так около 650 знаков. Третей итерации мне уже не было нужно.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

Оффтоп:

Евгений Семенович, Вы еще тут?

Разобрался и с доказательством и с дальнейшим уточнением формулы. Замучался. Доказательство получилось такое:

Спасибо! очень интересно. можно напишу в Арбузном блоге? а то никто так и не объяснил, откуда берется пи в этом процессе :-)

[Nadir Zaitov]

Конечно можно... с ссылкой на форум было бы приятно и мне

[Nadir Zaitov]

Кстати ряд:

x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))

расходится. Вы его проверяли? Сходится такой:
x = x + Sinx + Sin(x + Sin(x + Sin(x)) + Sin(x + sin(x)+Sin(x + Sin(x))), что в сущностия является разложением итераций типа x=x+sin(x). Не сразу заметил очипятку.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Nadir Zaitov

расходится.

...млин. Не расходится, сходится не быстрее чем x+sin(x). Проверил не аккуратно.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Написал http://blog.arbuz.uz/2009/02/18/snova-o-chisle-pi/ - спасибо.

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Написал http://blog.arbuz.uz/2009/02/18/snova-o-chisle-pi/ - спасибо.

Я поздно обнаружил очипятку тут:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

50 первых чисел числа Пи

Должно было быть "цифр" или "знаков". Может стоит поправить? Не красиво. И еще - как посмотреть комментарии других в самой теме? Я так понял их там нет.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

Оффтоп:

Я поздно обнаружил очипятку тут:

Должно было быть "цифр" или "знаков". Может стоит поправить? Не красиво. И еще - как посмотреть комментарии других в самой теме? Я так понял их там нет.

Исправил

комментируют в основном в ЖЖ:
http://sklyarevskiy.livejournal.com/1289830.html

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Почему-то этот ряд неожиданно дает число Пи:

x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))

И рождает несколько вопросов.

Подробности в арбузном блоге http://blog.arbuz.uz/2009/02/15/novosti-pro-chislo-pi/

А вот еще один факт: Биллиардная система для числа Пи.
О ней в 2000 году мне сообщил Гриша Гальперин в приватной беседе...
Затем я нашел публикацию.
Цитирую:

"ПРОЦЕДУРА. ПОЛОЖИМ на положительную числовую полуось х => 0 два биллиардных шарика с массами m и М > m, и будем предполагать, что в начале координат х = 0 расположена абсолютно упругая стенка, отражающая налетающий на нее шарик. При отражении от стенки скорость шарика меняется на строго противоположную. Размеры шариков несущественны, и для простоты мы будем считать их точечными частицами.
Фиксируем натуральное число N. Следующая процедура позволяет опреде¬лить любое наперед заданное количество N последовательных цифр числа Pi:
(1) Массы т и М подбираем так, что М/m = 100^N;
(2) Шар т располагаем между стенкой х = 0 и шаром М;
(3) Запускаем шар М в сторону шара т с произвольной скоростью;
(4) Подсчитываем общее количество ударов в системе (т. е. число столкновений между шарами плюс число отражений шара m от стенки);
(5) Записываем полученное число в десятичной системе и обозначаем его через Pi(N).
ТЕОРЕМА. А) Число ударов в описанной динамической системе всегда конечно и не зависит от начальных положений шариков и начальной скорости шара М.
Б) Число Pi(N) ударов в системе равно 314159265358979323.... (1)
(N десятичных знаков Pi).

Удивительный подход, основанный на сведении системы к биллиардной в угле arctan(100^N).

[Shuhrat Ismailov]

см. http://offline.computerra.ru/offline...870/page2.html